$m$と$n$を互いに素な自然数とします｡ (互いに素とは$\gcd(m,n)=1$となることです｡) このとき次の等式が成り立つことを証明してください｡ \[\sigma(mn) = \sigma(m) \sigma(n)\]
まず始めに, 積$mn$の約数について考察します (約数は正の約数とします)｡ $d$を$mn$の約数とします｡
自然数$m, n$が互いに素であることから, $m$と$n$は素因数を共有しません｡ このことから, 約数$d$の素因数は$m$のものと$n$のものの2つに分けることができます｡ よって, 各$d\mid mn$に対して, $d=ab$で$a\mid m$, $b \mid n$となる自然数$a, b$が一意的に存在します｡
そして逆に$a\mid m$, $b \mid n$であるなら$ab \mid mn$も成り立ちます｡ (ここでも$m$と$n$が互いに素である仮定を使っています｡)
この考察を用いて$\sigma(mn)$を次のように変形していきます｡ \begin{align*} \sigma(mn) &= \sum_{d \mid mn} d\\ &= \sum_{a\mid m, b\mid n} ab\\ &= \left( \sum_{a\mid m }a \right ) \left ( \sum_{b\mid n} b \right)\\ &= \sigma(m) \sigma(n) \end{align*}
よって, 望む等式$\sigma(mn) = \sigma(m) \sigma(n)$が得られたので証明を終了です｡