問題

解答

問1の証明

$n$を任意の自然数とします｡ そして, $n$を十進法展開して \[n = a_k\cdot 10^k+a_{k-1}\cdot 10^{k-1} +\cdots + a_2\cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0\] と書きます｡ ここで各$a_i$は$n$の$10^i$の位の数字です｡

さて, $10 \equiv 1 \pmod 9$に注目すると, 任意の自然数$i$に対して \[10^i \equiv 1 \pmod 9\] となることがわかります｡ この合同式を用いて, 上の$n$の式を次のように変形します｡

\begin{align*} n &= a_k\cdot 10^k+a_{k-1}\cdot 10^{k-1} +\cdots + a_2\cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0\\ &\equiv a_k\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1 +\cdots + a_2\cdot 1 + a_1 \cdot 1 + a_0 \pmod 9\\ &\equiv a_k+a_{k-1} +\cdots +a_2 + a_1 + a_0 \pmod 9 \end{align*}

ここで, 式の最後のところは$n$の各桁の総和になっていることに注目します｡ もしこの総和が$9$で割り切れるならば, 上式から$n \equiv 0 \pmod 9$となり, $n$も$9$で割り切れることが従います｡

$9$の倍数の判定法のPythonコード

テキストで作成した$n$の桁の数字のリストを出力する関数を使います｡

def digits_of (n): # nの桁の数字のリストを出力する関数｡ nは自然数
    digits = [] # nの桁の数字を入れるリスト
    while n != 0:
        r = n % 10 # 10で割った余り
        digits.append(r) # リストに加える
        n = n // 10 # nを10で割った整数に置き換える
    return digits

この関数を用いて$9$の倍数の判定法を書くと次のようなPythonコードになります｡

def is_multiple_of_9 (n): # nは自然数
    sum = 0 # 各桁の数字の合計をもとめる
    for i in digits_of (n):
        sum += i
    return sum % 9 == 0 # もし合計が9の倍数ならTrue, そうでないならFalse