$3x+12y=22$を満たすような整数$x, y$は存在しないことを証明してください｡

$\sqrt{2}$が無理数であることを証明してください｡

ある整数$n$を使って$3n+1$と書ける素数は必ずある整数$m$を使って$6m+1$の形に書けることを証明してください｡

自然数$n$の階乗とは, $1$から$n$までの全ての自然数の積のことで$n!$と書きます｡ $n$を$2$以上の自然数とします｡ そして, $k$を$1 < k\leq n$を満たす自然数とします｡ このとき, $n!+k$は合成数であることを証明してください｡

$a, b$を$\gcd(a, b)=1$となる自然数とします｡ このとき, $\gcd(a+b, ab)=1$であることを証明してください｡

$\log 4$が無理数であることを証明してください｡ ここで, $\log 4 = \log_{10} 4$は底10の対数です｡

$p$を奇素数とします｡ このとき$8 \mid p^2-1$であることを証明してください｡

整数$a$, $b$の最大公約数が$1$のとき, $a$と$b$は互いに素と言います｡ 整数$a$と$b$を互いに素とします｡ すると, 任意の整数$c$に対して, $x$と$y$を変数とする方程式 \[ax+by = c\] は解$(x,y)$を持つことを証明してください｡

$n$を平方数ではない自然数とする｡ (平方数とはある自然数の2乗で表すことのできる数のことです｡) このとき, $n$の平方根$\sqrt{n}$は無理数であることを証明してください｡

任意の$1$より大きい自然数$n$に対して, $n^3+1$は素数ではないことを証明してください｡

ある整数$n$を使って$n^3-1$の形に書ける素数をすべて見つけてください｡ 見つけた素数以外には存在しないことも証明してください｡

任意の自然数$n$に対して, $8^n+1$は素数にならないことを証明してください｡

自然数の中で2つの合成数の和として書けるもの全てを決定してください｡ (例えば, $14=6+8$なので$14$は合成数$6$と$8$の和で書けます｡)

$a, b$を互いに素な整数とします。 また, $5a+b \neq 0$であると仮定します｡ このとき，分数$\frac{16a+3b}{5a+b}$が既約分数であることを証明してください。

任意の自然数に対して$5 \mid 3^{3n-2} + 2^n$が成り立つことを証明してください｡

natural-numbers-n-such-that-n-plus-1-divides-n-squared-plus-1

自然数$n$で$n+1$が$n^2+1$を割り切るものを全て求めてください｡

無理数の無理数乗が有理数になる場合もあることを証明してください｡ つまり, 無理数$a, b$で$a^b$が有理数になるようなものが存在することを証明してください｡