$\sqrt{2}$が無理数であることを証明してください｡
背理法で$\sqrt{2}$が無理数であることを証明します｡ そこで, $\sqrt{2}$が有理数であると仮定します｡ すると, 整数$m, n\neq 0$で$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$となるものが存在します｡ 両辺を二乗すると$2=\frac{m^2}{n^2}$となり, ここから$2n^2 = m^2$を得ます｡
この両辺の素因数分解を考えてみます｡ まず, $m^2$の素因数分解を考察してみます｡ $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$を$m$の素因数分解とすると$m^2=p_1^{2a_1}p_2^{2a_2}\cdots p_k^{2a_k}$が$m^2$の素因数分解となります｡ ここから, $m^2$の各素因数は偶数個あることが分かります｡ 同様に, $n^2$の各素因数も偶数個あることがわかります｡
さて, 左辺$2n^2$には$2$がもう一つあるので, $2n^2$の素因数分解には$2$が奇数個含まれることになります｡ しかし, 右辺$m^2$には$2$は偶数個含まれているのでした｡ 素因数分解の一意性から両辺には同じだけ$2$が含まれなければならないので, これは矛盾です｡ よって仮定の｢$\sqrt{2}$が有理数である｣ことが間違いであることがわかり, $\sqrt{2}$が無理数であることが証明されました｡