1. $a$と$b\neq 0$を有理数とします｡ このとき分数$a/b$も有理数であることを証明します｡ $a,. b$は有理数なので整数$m, n\neq 0, s, t \neq 0$で$a=m/n, b=s/t$と書けるものが存在します｡ すると, \begin{align*} \frac{a}{b} & = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{s}{t}}\\[6pt] &=\frac{m}{n}\cdot \frac{t}{s} \\[6pt] &= \frac{mt}{ns} \end{align*} と書けます｡ ここで$m, n, t, s$が整数であることから分母$ns\neq 0$も分子$mt$も整数であることがわかります｡ よって$a/b$が有理数であることが証明されました｡
2. $a, b\neq 0$が無理数でも分数$a/b$は有理数になりえる例を挙げます｡ $a$も$b$も同一の無理数としてみましょう｡ 例えば円周率$\pi$は無理数なので$a=b=\pi$とします｡ すると分数$a/b=\pi/\pi=1$となり無理数同士の分数でも結果は有理数になりました｡ 円周率$\pi$の代わりに$\sqrt{2}$等他の無理数を使っても同様です｡