$a, b$を自然数としたとき \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\] もまた自然数になるような$a, b$の組をすべて求めてください｡
一般性を失うことなく$a\leq b$と仮定します｡ ($b\leq a$の場合は議論中の$a$と$b$を入れ替えればよいだけです｡)
$n=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$とおいて, $n$が自然数と仮定します｡ 右辺を通分すると \[n=\frac{b+a}{ab}\] となり, これより$abn=b+a$を得ます｡ さらに変形して$a=abn-b=b(an-1)$を得ます｡ この最後の式より$a$は2つの自然数$b$と$an-1$の積だと分かります｡ ゆえに, $a \geq b$が従います｡ これと仮定の$a\leq b$を組み合わせると$a=b$となります｡
先ほどの式$a=b(an-1)$に$a=b$を適用すると$a=a(an-1)$となり$a\neq 0$をキャンセルすると$1=an-1$を得て, これを変形して$an=2$となります｡ ここで, $a$は自然数なので$a=1$または$a=2$だけしか可能性はなくなります｡
$a=b=1$の場合は$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\in \N$となり条件を満たします｡ $a=b=2$の場合も$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1 \in \N$となり条件を満たします｡
以上より, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$が自然数になるような自然数$a, b$の組は$a=b=1$と$a=b=2$の二組のみであることが証明されました｡