任意の$2$よりも大きいの自然数$n$に対して$n < p < n!$を満たす素数$p$が存在することを証明してください｡
$n$以下のすべての素数を$p_1, p_2, \dots, p_k$とします｡ そして自然数$N$を$N=\prod_{i=1}^kp_i -1$と定義します｡ (ここで, $\prod_{i=1}^k p_i$は積$p_1p_2\cdots p_k$を表す記号でした｡)
$N$の中の積$\prod_{i=1}^kp_i$は$n$以下の相異なる素数の積であることから$N < n!$であることがわかります｡ (積から$1$を引いてるので$n!$よりも小さくなります｡)
次に, $N$がどの$p_j$, $j=1, 2, \dots, k$でも割り切れないことを証明します｡ そのために, $p_j \mid N$だと仮定してみます｡ すると \[p_j \mid N-\prod_{i=1}^k p_i = -1\] となり, これは矛盾であることがわかります｡ ゆえに, $N$は$n$以下の素数では割り切れないことがわかりました｡
ここで, $p$を$N$の素因数とすると今証明したことから$p > n$となることがわかります｡ $p$は$N$の素因数であるから$p\leq N < n!$も従います｡ よって$n < p < n!$なる素数$p$が存在することが証明されました｡
コメント: $N=\prod_{i=1}^k p_i - 1$の代わりに$N=n!-1$としても同様に証明できます｡ 確かめてみてください｡