任意の$1$より大きい自然数$n$に対して, $n^3+1$は素数ではないことを証明してください｡
証明のポイントは$n^3+1$が次のように分解できることです｡ \[n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)\] この式を確かめるには右辺を展開してみてください｡
さて, $n^3+1$が上のように分解され積で書けることから, もし$n+1$と$n^2-n+1$が$1$より大きいのであれば$n^3+1$は合成数であることになります｡
仮定より$n>1$なので$n+1 >1$は成立しています｡ 次に, $n^2-n=n(n-1)>0$も成り立っていることから$n^2-n+1 > 1$も従います｡ つまり, $n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)$の右辺は$1$より大きい2つの整数の積になっています｡ ゆえに, $n^3+1$は合成数であることが証明されました｡