自然数の中で2つの合成数の和として書けるもの全てを決定してください｡ (例えば, $14=6+8$なので$14$は合成数$6$と$8$の和で書けます｡)
$4$が最小の合成数なので, 2つの合成数の最小値は$4+4=8$となり, $8$より小さい自然数は2つの合成数の和では書けないことがわかります｡ $4$の次に小さい合成数は$6$なので, $4+6=10$が条件を満たす次の数です｡ $11$はそれ以下の合成数$4, 6, 8, 10$の和で書けないこともわかります｡
そして, $12$以上の自然数は全て2つの合成数の和で書けることを証明します｡ $n \geq 12$を任意の自然数とします｡
まず, $n$が偶数の場合を考えます｡ このときは, $n-4$も偶数で$n-4 \geq 8$なので合成数です｡ そして$n=4+(n-4)$と書けるので$n$を2つの合成数の和で書くことができました｡
次に, $n$が奇数の場合を考えます｡ このとき, $n-9$は偶数かつ$n-9\geq 3$なので, $n-9$が合成数だということがわかります｡ そして, $n=9+(n-9)$と書けることから$n$を2つの合成数の和として書くことができました｡ 以上で$12$以上のすべての自然数が2つの合成数の和で書けることが証明されました｡
以上をまとめると, 2つの合成数の和で書ける自然数は$8$と$10$に加え, $12$以上の全ての自然数であることが分かりました｡