二つの連続した素数に挟まれている完全数をすべて見つけてください。つまり，連続する3つの自然数$p, p+1, p+2$で$p, p+2$は素数で$p+1$が完全数となるものをすべて決定してください。
最小の完全数である$6$は連続する素数$5$と$7$に挟まれているので条件を満たします。
$6$以外の完全数は連続した素数に挟まれることはないことを証明します。$n$を$6$より大きい完全数とします。まず，$n$が奇数の場合には，その前後の自然数は偶数であるから条件を満たしません。
よって$n$が偶数の完全数の場合を考えます。このときテキストで証明した偶数の完全数の形に関する定理によって，$n$は \[n=2^{p-1}(2^p-1)\] の形に書けます。ここで$2^p-1$はメルセンヌ素数と呼ばれる素数です。今，$n > 6$より$p > 2$です。 この完全数の素因数分解の形から，$n$は$3$の倍数ではないことがわかります。
連続する3つの自然数の内1つは$3$の倍数であるので，$n$の前後どちらかの自然数は$3$の倍数であることがわかります。これより，$6$より大きい完全数は素数で挟まれることがないことが証明されました。
以上より，2つの連続する素数で挟まれる完全数は$6$のみであることが証明されました。
コメント： 2つの連続する素数のことを双子素数と呼びます。上で得た結果を言い換えると，双子素数に挟まれている完全数は$6$のみとなります。