$p$を素数, $a$を自然数とします｡ このとき \[\sigma(p^a) = \frac{p^{a+1} - 1}{p -1}\] が成立することを証明してください｡
$p^a$の正の約数は \[1, p^2, p^3, \dots, p^{a-1}, p^{a}\] と$p$の冪の形をしています。
よって, 正の約数の和は \[\sigma(p^a)=1+ p^2+ p^3+\cdots+ p^{a-1}+p^{a}\] となります。
この式の右辺が, 初項$1$で, 公比$p$, 項数$a+1$の等比数列の総和であることに注目すると(幾何級数) \[\sigma(p^a) = \frac{p^{a+1}-1}{p-1}\] となり, 証明したかった等式を得ました。