$p$と$q$を相異なる奇数とします。 このとき、 $\sigma(pq)=\sigma(p)\sigma(q)$であることを証明してください。
素数$p$の正の約数は$1$と$p$自身なので, 正の約数の総和は \[\sigma(p)=1+p\] となります。 同様に, $\sigma(q)=1+q$となります。
次に, 積$pq$の正の約数を考えます。$pq$の約数の素因数の可能性は$p$または$q$のみであるので, $pq$の正の約数は$1, p, q, pq$です。 これより \[\sigma(pq)=1+p+q+pq\] 得ます。(仮定の$p\neq q$はここで使用しています｡)
ここで積$\sigma(p)\sigma(q)$を計算すると \begin{align*} \sigma(p)\sigma(q) &= (1+p)(1+q)\\ &= 1+q+p+pq \\ &= \sigma(pq) \end{align*} となり, $\sigma(pq)=\sigma(p)\sigma(q)$が証明されました。