$\sigma(n)$を自然数の正の約数の総和を求める関数とすると，自然数$n$が完全数であるとは$\sigma(n)=2n$となることでした。もし$\sigma(n)>2n$なら$n$を過剰数，もし$\sigma(n) < 2n$なら$n$を不足数と呼びます。$n$を完全数または過剰数とします。$k > 1$を任意の自然数とすると$kn$は過剰数になることを証明してください。
$n$が完全数または過剰数なので$\sigma(n) \geq 2n$が成立します。示すべきことは$\sigma(kn) > 2kn$となることです。
$kn$の約数は$km$ ($m$は整数）の形に書けるものとそうでないものに分けることができます。特に，$1$は$km$の形に書くことができない約数です。$km$の形に書けない約数で$1$以外のものを除外すると次の不等式が得られます。
\begin{align*} \sigma(kn) &= \sum_{d \mid kn} d \\[6pt] &\geq 1 + \sum_{m \mid n} km\\[6pt] &= 1 + k \sum_{m \mid n} m \\ &= 1 + k \sigma(n)\\[6pt] &\geq 1 + 2kn\\ &> 2kn \end{align*}
ゆえに，$\sigma(kn) > 2kn$を得たので$kn$が過剰数であることが証明されました。