自然数$n$で$n+1$が$n^2+1$を割り切るものを全て求めてください｡
まず始めに$n=1$の場合を考えると$n+1=2$かつ$n^2+1=2$なので$n+1$が$n^2+1$を割り切ることがわかります｡ そこで, 以下の議論では$n > 1$と仮定します｡
$n$を$n+1 \mid n^2 +1$を満たす$1$より大きい自然数とします｡ このとき, 次の恒等式を考えましょう｡ \[n(n+1)-(n^2+1) = n-1\] この式を確かめるには, 左辺を展開して整理してみてください｡
このとき, 左辺の第一項$n(n+1)$と第二項$n^2+1$は仮定よりどちらも$n+1$で割り切れます｡ つまり, 左辺は$n+1$で割り切れることがわかります｡
よって, 右辺を考えると$n+1 \mid n-1$を得ます｡ しかし$n+1 > n-1$かつ$n+1, n-1$が両方とも自然数であることから, $n+1 \mid n-1$は不可能だとわかります｡ (ここで仮定の$n>1$が効いてきます｡)
以上から$n+1 \mid n^2 + 1$を満たす自然数$n$は$n=1$のみであることが証明されました｡