もし$p$と$p^2+8$が両方とも素数であるなら，$p^3+4$も素数であることを証明してください。
もし$p=2$なら，$p^2+8 =12$が合成数になるので問題の仮定を満たしません。次に，$p=3$の場合を考えると，$p^2+8 = 17$も素数となり問題の仮定を満たします。さらに，$p^3+4=31$も素数となります。
問題の仮定を満たすような素数$p$は$p=3$のみであることを証明します。
$p=2$の場合はすでに仮定を満たさないことを見たので，$p$を$5$以上の奇素数とします。すると$\mod 3$で考えると，$p \equiv 1 \pmod 3$ または$p \equiv 2 \pmod 3$の2つの場合が考えられます。
どちらの場合にも$p^2 \equiv 1 \pmod 3$となることに注目すると，$p^2+8 \equiv 9 \equiv 0 \pmod 3$となります。これと，$p^2 +8 >3$であるいことを合わせると$p^2+8$は合成数になることがわかります。
ゆえに、$3$以外の$p$は問題の仮定を満たすことがないことが示されました。