$n$を$4$以上の自然数とします。このとき和 \[\sum_{i=1}^n i!=1!+2!+3!+\cdots + n!\] は平方数になりえないことを証明してください。
次の階乗に関する観察がこの問題を解くポイントです。$k$を$5$以上の自然数とすると$k!$の積には$2$と$5$が含まれているため$k!$は$10$の倍数であり，その一の位は$0$であることがわかります。
このことに加え, \[1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33\] であることより$\sum_{i=1}^n i!$の一の位は$3$であることがわかります。
このことを合同式を使って表すと \begin{align*} 1!+2!+3!+4!+\cdots + n! &= (1!+2!+3!+4!) +(5!+\cdots + n!)\\ &\equiv 33 +(0 + \cdots 0) \pmod{10}\\ &\equiv 3 \pmod{10} \end{align*} となります｡
次に，任意の平方数の一の位$3$にならないことを証明します。これは$n$を任意の自然数としたとき$n^2 \not \equiv 3 \pmod{10}$となることと同値です｡ $n \equiv a \pmod{10}$, $0\leq a \leq 9$となる$a$が存在し$n^2 \equiv a^2 \pmod{10}$となるので次の10通りの場合を計算すればよいことがわかります｡
\begin{align*} 1^2 &\equiv 1 \pmod{10}\\ 2^2 &\equiv 4 \pmod{10}\\ 3^2 &\equiv 9 \pmod{10}\\ 4^2 &\equiv 6 \pmod{10}\\ 5^2 &\equiv 5 \pmod{10}\\ 6^2 &\equiv 6 \pmod{10}\\ 7^2 &\equiv 9 \pmod{10}\\ 8^2 &\equiv 4 \pmod{10}\\ 9^2 &\equiv 1 \pmod{10} \end{align*}
この計算から平方数の一の位は$3$にならないことがわかりました。$\sum_{i=1}^ni!$の一の位が$3$であることから，この数は平方数にはなりえないことが証明されました。