合同式$124^i \equiv 123^i \pmod{19}$が任意の偶数$i$に対して成立することを証明してください｡
まず, $124 =19 \cdot 6 + 10$より$124 \equiv 10 \pmod{19}$であり, 両辺を二乗すると \[124^2 \equiv 10^2 \equiv 5 \pmod{19} \tag{1}\] を得ます｡ 最後の変形は$100= 19 \cdot 5 + 5$を用いました｡
同様に, $123=19 \cdot + 9$より$123 \equiv 9 \pmod{19}$であり, 両辺を二乗して \[123^2 \equiv 9^2 \equiv 5 \pmod{19} \tag{2}\] を得ます｡ 最後の変形には$81 = 19 \cdot 4 + 5$を用いました｡
合同式(1)と(2)を合わせると \[124^2 \equiv 123^2 \pmod{19} \tag{3}\] を得ます｡ $i=2n$を任意の偶数とします｡ すると, 合同式(3)の両辺を$n$乗すると \[124^{2n} \equiv 123^{2n} \pmod{19}\] が成立します｡
これは任意の偶数$i$で合同式$124^i \equiv 123^i \pmod{19}$が成り立つことを意味しています｡