$n$を偶数かつ$n/2$が奇数となる自然数とします｡ このとき方程式$x^2+3y^2 = n$には整数解$(x,y)$が存在しないことを証明してください｡
$n$が偶数であり, かつ$n/2$が奇数であるということは$n$は$4$の倍数ではないということです｡ つまり, $n \equiv 2 \pmod 4$が成立しています｡
そこで, どんな整数$x,y$に対しても, 与えられた方程式$x^2+3y^2 = n$の左辺は法$4$で$2$と合同にならないことを証明できれば, この方程式には解が存在しないことになります｡
$x$を任意の整数とします｡ すると$x \pmod{4}$は$0, 1, 2, 3$のどれかになります｡ よって$x^2 \pmod{4}$は$0$か$1$となることがわかります｡ (例えば$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{4}$なので｡)
すると法$4$で$x^2+3y^2$を考えると$0, 1, 3$のどれかになることがわかります｡ つまり方程式の左辺は法$4$で$2$と合同にならないことがわかったので解は存在しないことが証明されました｡