$p$を奇素数とします｡ このとき$8 \mid p^2-1$であることを証明してください｡
$p$が奇数なので$p=4n+1$または$p=4n+3$となる整数$n$が存在します｡ ($4$で$p$を割った余りが$1$か$2$ということと同値です｡)
まずはじめに, $p=4n+1$の場合を考えます｡ このとき, \begin{align*} p^2-1 &= (p-1)(p+1) \\ &= 4n(4n+2) \\ &= 8n(2n+1) \end{align*} と変形できることから$8 \mid p^2 - 1$となることがわかります｡
次に, $p=4n+3$の場合を考えます｡ このときは \begin{align*} p^2-1 &= (p-1)(p+1) \\ &= (4n+2)(4n+4) \\ &= 8(2n+1)(n+1) \end{align*} と変形できるので$8 \mid p^2 - 1$が成立することがわかります｡
よって, いずれの場合も$8 \mid p^2 - 1$となることがわかりました｡
上の証明から分かる通り, $p$が素数であるという性質はどこにも使っていません｡ 使った性質は$p$が奇数ということのみでした｡ つまり$8\mid p^2-1$はどんな奇数$p$に対しても成立します｡
合同式を使うと次のように証明できます｡ 合同式については合同式の定義と基本的性質を参考にしてください｡
まず$p$が奇数であるので$p$は法$8$で$1, 3, 5 ,7$のいずれかと合同です｡ つまり$p \equiv a \pmod 8$, $a=1,3,5,7$となっています｡
すると \[p^2 \equiv a^2 \equiv 1 \pmod{8}\] がどの$a$の値でも成立していることがわかります｡ 実際に, \[1^1=1, 3^2=9\equiv 1, 5^2=25\equiv 1, 7^2 \equiv 49 \pmod{8}\] となっています｡
これより \[p^2-1 \equiv 0 \pmod 8\] が得られるので, $p^2-1$は$8$で割り切れることが証明されました｡