(1) $n$を$2$以上の自然数とするとき$10^n \equiv 0 \pmod{4}$であることを証明してください｡
(2) $n$が$4$で割り切れるためには$n$の下二桁の数字が$4$で割り切れることが必要十分であることを証明してください｡ (例: $5432$の下二桁は$32$)
$n$を$2$以上の自然数とします｡ すると$10^n=(2\cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$であり, $n \geq 2$なので$10^n$は$4$で割り切れます｡ つまり$10^n \equiv 0 \pmod{4}$が成り立ちます｡
自然数$n$を十進法展開して \[n = a_k\cdot 10^k+a_{k-1}\cdot 10^{k-1} +\cdots + a_2\cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0\] と書きます｡ ここで各$a_i$は$n$の$10^i$の位の数字です｡
(1)より$10^i \equiv 0 \pmod{4}$, $i \geq 2$なので \begin{align*} n &= a_k\cdot 10^k+a_{k-1}\cdot 10^{k-1} +\cdots + a_2\cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0\\ &\equiv a_k\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0 +\cdots + a_2\cdot 0 + a_1 \cdot 10 + a_0 \pmod{4}\\ &\equiv a_1 \cdot 10 + a_0 \pmod{4} \end{align*} を得ます｡
これはつまり$n$はその下二桁と法$4$で合同であることを示しています｡ よって下二桁が$4$で割り切れるならば$n$も$4$で割り切れますし, その逆もまた正しいことがわかりました｡