次の条件を満たす数の例をそれぞれ3つ挙げてください｡
1. 整数であり自然数ではない数
2. 有理数であり整数ではない数
$4$で割って余りが$3$の2つの整数の積を$4$で割ると余りが$1$になることを証明してください｡
円周率$\pi$は無理数であることが知られています｡ この事実を仮定して次の問に答えてください｡
1. $3\pi$が無理数であることを証明してください｡
2. $\pi+5$が無理数であることを証明してください｡
1. $a$を有理数, $b$をゼロでない有理数とします｡ このとき, 分数$a/b$は必ず有理数になるでしょうか?
2. $a$を無理数, $b$をゼロでない無理数とします｡ このとき, 分数$a/b$は必ず無理数になるでしょうか?
$a, b$を自然数としたとき
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]
もまた自然数になるような$a, b$の組をすべて求めてください｡