(1) $n$を$2$以上の自然数とするとき$10^n \equiv 0 \pmod{4}$であることを証明してください｡

(2) $n$が$4$で割り切れるためには$n$の下二桁の数字が$4$で割り切れることが必要十分であることを証明してください｡ (例: $5432$の下二桁は$32$)

1. 自然数$n$の各桁の数字の総和が$9$で割り切れるならば, $n$は$9$の倍数であることを証明してください｡

2. 上の$9$の倍数の判定法をPythonを用いて実装してください｡

(1) $N=111^{111}$を法$19$で簡約してください｡ つまり, $N\equiv n \pmod{19}$で$0\leq n \leq 18$となる整数$n$を見つけてください｡ 下の計算結果は自由に使用してください｡ \begin{align*} 111^1 &\equiv 16 \pmod{19} \\ 111^2 &\equiv 9 \pmod{19} \\ 111^3 &\equiv 11 \pmod{19} \\ 111^4 &\equiv 5 \pmod{19} \\ 111^5 &\equiv 4 \pmod{19} \\ 111^6 &\equiv 7 \pmod{19} \\ 111^7 &\equiv 17 \pmod{19} \\ 111^8 &\equiv 6 \pmod{19} \\ 111^9 &\equiv 1 \pmod{19} \\ \end{align*}

(2) $N^N$を法$19$で簡約してください｡

1. Pythonを用いて, $n$に$2$から$20$までの各整数を当てはめて, 上の式(*)を計算してください｡ そこからどのような法則が成立しそうか予想してください｡

2. (1)の予想を証明してください｡