$a$を自然数とします｡ $a$を固定したとき, $\sigma(n)=a$となる自然数$n$は有限個しかないことを証明してください｡

$p$を素数, $a$を自然数とします｡ このとき \[\sigma(p^a) = \frac{p^{a+1} - 1}{p -1}\] が成立することを証明してください｡

$p$と$q$を相異なる奇数とします。 このとき、 $\sigma(pq)=\sigma(p)\sigma(q)$であることを証明してください。

二つの連続した素数に挟まれている完全数をすべて見つけてください。つまり，連続する3つの自然数$p, p+1, p+2$で$p, p+2$は素数で$p+1$が完全数となるものをすべて決定してください。

$\sigma(n)$を自然数$n$の約数の総和を与える関数とします。もし、$\sigma(n)=2n$となる場合には自然数$n$は完全数と呼ばれていました。それでは、$\sigma(n)=3n$となる自然数$n$が存在するかどうかをPythonを用いて調べてください。

平方因子を含まない完全数は$6$以外には存在しないことを証明してください。

$n$を$6$よりも大きい偶数の完全数とします。このとき$n$は$1^3+3^3+5^3+ \cdots + (2m-1)^3$のように奇数の三乗和で表すことができることを証明してください。

$\sigma(n)$を自然数の正の約数の総和を求める関数とすると，自然数$n$が完全数であるとは$\sigma(n)=2n$となることでした。もし$\sigma(n)>2n$なら$n$を過剰数，もし$\sigma(n) < 2n$なら$n$を不足数と呼びます。$n$を完全数または過剰数とします。$k > 1$を任意の自然数とすると$kn$は過剰数になることを証明してください。

$m$と$n$を互いに素な自然数とします｡ (互いに素とは$\gcd(m,n)=1$となることです｡) このとき次の等式が成り立つことを証明してください｡ \[\sigma(mn) = \sigma(m) \sigma(n)\]