$a, b$を$\gcd(a, b)=1$となる自然数とします｡ このとき, $\gcd(a+b, ab)=1$であることを証明してください｡
$d = \gcd(a+b, ab)$と置きます｡ 証明することは$d=1$となることです｡ もし, $d > 1$であるなら$p \mid d$となる素数$p$が存在します｡ このことと, $d$が公約数であることから得られる$d\mid a+b$と$d\mid ab$を合わせると \[p \mid a+b, \quad p \mid ab\] がわかります｡
ここで, $p \mid ab$から一般性を失うことなく($a$と$b$は対称的なので)$p\mid a$とします｡ すると, $p \mid a+b$より$p \mid b$でなければいけないことがわかります｡
この最後の部分をもう少し補足したいと思います｡ まず, $p \mid a$なので$a = ps$となる自然数$s$が存在します｡ また, $p \mid a+b$から$a+b = pt$となる自然数$t$も存在します｡ これらから \[b=pt - a = pt - ps = p(t-s)\] となり, $p \mid b$が従います｡
以上より, 素数$p$は$a$と$b$の両方を割り切ることがわかりました｡ これは, $p \mid \gcd(a, b) =1$を意味するので矛盾です｡ ゆえに, $d=1$となり, $\gcd(a+b, ab)=1$が証明されました｡