$p$と$p^2+2$が両方とも素数であるならば, $p=3$であることを証明してください｡
まず, $p=3$であるならば$p^2+2=11$も素数であるから, 条件を満たすことがわかります｡
$p=3$以外の素数では$p^2+2$が素数にならないことを証明します｡
$p$を$3$以外の素数とすると, $p$を$3$で割った余りは$1$か$2$です｡ 言い換えると, $p\equiv 1 \pmod 3$または$p\equiv 2 \pmod 3$が成り立っています｡ どちらの場合にも$p^2 \equiv 1 \pmod 3$となります｡
すると \[p^2 + 2 \equiv 1+2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3\] となり$p^2 + 2$は$3$で割り切れることがわかりました｡ $p^2 +2 \neq 3$であるので, この数は合成数であることがわかります｡
よって$p=3$のときに限り$p$と$p^2+2$が両方とも素数であることが証明されました｡