$35!-33!$が$41$で割り切れることを証明してください｡
｢$35!-33!$が$41$で割り切れる｣ことは｢$35!\equiv 33! \pmod{41}$｣と同値なので, この合同式を求めることを目標にします｡
まず, $35 \equiv -6 \pmod{41}$と$34 \equiv -7 \pmod{41}$であることに注目すると \[35\cdot 34 \equiv (-6)(-7) \equiv 42 \equiv 1 \pmod{41}\] を得ます｡
この両辺に$33!$を掛けて \[35\cdot 34\cdot 33! \equiv 33! \pmod{41}\] となります｡ この左辺は階乗の定義より$35!$と等しいので$35!\equiv 33! \pmod{41}$が成り立つことがわかりました｡
ゆえに$35!-33!$は$41$で割り切れることが証明されました｡