無理数の無理数乗が有理数になる場合もあることを証明してください｡ つまり, 無理数$a, b$で$a^b$が有理数になるようなものが存在することを証明してください｡
2つのアイディアの異なる証明を紹介します｡
1つ目の証明は, 面白い数学の論理を使った証明です｡
$\sqrt{2}$は無理数です｡ このとき \[\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\] は無理数でしょうか, それとも有理数でしょうか｡ この問に答えようとすると問題の解答が得られる面白い証明方法を紹介します｡ しかも, この問自体の答えはわからないままなのです｡
$A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$とおきます｡ もし$A$が有理数であれば, 無理数の無理数乗が有理数になる例を発見できたことになります｡
そこで, $A$が無理数だと仮定してみます｡ そして \[A^{\sqrt{2}}\] を考えます｡ これは, 無理数$A$の無理数$\sqrt{2}$乗です｡
これを計算すると \[A^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = {\sqrt{2}}^2 = 2\] となり, $A^{\sqrt{2}}$は有理数になることがわかります｡
よって, いずれの場合にも無理数の無理数乗が有理数になる例を見つけることができました｡ 以上で証明を終わりにします｡
2つ目の証明は, 具体的な2つの無理数$a, b$で$a^b$が有理数となるものを例示します｡
$a = \sqrt{10}$と$b = \log_{10} 4$を考えます｡ $a, b$どちらも無理数です｡ (参考:$\sqrt{10}$が無理数の証明と$\log_{10}4$が無理数の証明を見てください｡)
すると \[\sqrt{10}^{\log_{10}4} = \sqrt{10}^{2\log_{10} 2} = 10 ^{\log_{10} 2} =2\] となり$a^b$が有理数になることがわかりました｡
1つ目の証明の面白いところは, $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$が有理数か無理数かわからないまま問題の証明を完成されることができることです｡ (もっと高度な数学を使うとこの数は無理数だと証明することができます｡)
また, 1つ目の証明は｢存在の証明｣にはなっていますが具体例は挙げていません｡ 一方で, 2つ目の証明は具体的な2つの無理数$a, b$で$a^b$が有理数となるものを例示しました｡