任意の自然数に対して$5 \mid 3^{3n-2} + 2^n$が成り立つことを証明してください｡
$5 \mid 3^{3n-2} + 2^n$が成り立つことを数学的帰納法を使って証明します｡
$n=1$のときは$3^{3n-2} + 2^n=5$となるので, 成り立っていることがわかります｡
次に帰納法の仮定として$n=k$の場合に$5 \mid 3^{3k-2} + 2^k$が成り立っていると仮定します｡ この仮定の下で, $n=k+1$の場合の$5 \mid 3^{3(k+1)-2} + 2^{k+1}$が成立することを証明します｡
帰納法の仮定$5 \mid 3^{3k-2} + 2^k$より, 自然数$m$で \[3^{3k-2} + 2^k = 5m\] となるものが存在します｡
これを用いて$3^{3(k+1)-2} + 2^{k+1}$を変形していきます｡ \begin{align*} 3^{3(k+1)-2} + 2^{k+1} &= 3^{3k+1} + 2\cdot 2^k\\ &= 3^{3k+1} + 2(5m - 3^{3k-2})\\ &= 3^{3k+1} -2\cdot 3^{3k-2} + 2\cdot 5m \tag{*} \end{align*} となります｡
ここで最後の式(*)の第3項$2\cdot 5m$は$5$の倍数であるので, 最初の2項のみに注目すると \[3^{3k+1} -2\cdot 3^{3k-2}=3^{3k-2}(3^3-2)=3^{3k-2}\cdot 25\] となることから, これも5の倍数だとわかります｡
ゆえに, 式(*)は$5$で割り切れることが示されました｡ 数学的帰納法より, 任意の自然数に対して$5 \mid 3^{3n-2} + 2^n$が成り立つことが証明されました｡