合同式$x^4\equiv 5 \pmod{33}$を満たす整数$x$をすべて見つけてください｡ もし, そのような$x$が存在しない場合には, そのことを証明してください｡
合同式$x^4\equiv 5 \pmod{33}$は$33 \mid x^4 - 5$と同値です｡ もし, この式が成立しているならば$33=3\cdot 11$となることから$3 \mid x^4 -5$も成立しています｡
つまり, 合同式 \[x^4 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3} \tag{*}\] も成立していることになります｡
この合同式を満たすような整数$x$は存在しないことを証明します｡ $x$を$3$で割った余りについて場合分けします｡
$x \equiv 0 \pmod{3}$の場合には$x^4 \equiv 0 \not \equiv 2 \pmod 3$となり, 式(*)を満たしません｡
$x \equiv 1 \pmod{3}$の場合には$x^4 \equiv 1 \not \equiv 2 \pmod 3$となり, これも式(*)を満たしません｡
最後に, $x \equiv 2 \pmod 3$の場合を考えます｡ このとき \[x^4 \equiv 2^4 \equiv 1 \not \equiv 2 \pmod 3\] となるので, これも式(*)を満たしません｡
以上から式(*)を満たす整数$x$は存在しないことがわかりました｡ このことから, 元の合同式$x^4\equiv 5 \pmod{33}$にも整数解$x$は存在しないことが証明されました｡