任意の自然数$n$に対して, $8^n+1$は素数にならないことを証明してください｡
2つの証明を紹介します｡ 一つ目は以前の問題の結論｢任意の1より大きい自然数$n$に対して, $n^3+1$は素数ではない｣を用いた証明です｡ 2つ目は, それを用いずに直接証明する方法です｡
まず$8=2^3$であることを用いて \[8^n+1=(2^3)^n+1=(2^n)^3+1\] と変形します｡ すると, $8^n+1$は$m^3+1$の形に書ける整数だと分かります｡ ここで, $m=2^n$で$n$が自然数であることから$m>1$となります｡
以前の問題で証明した｢任意の1より大きい自然数$n$に対して, $n^3+1$は素数ではない｣を用いると, この形の素数は存在しないことがわかっているので$8^n+1$は素数になりえないことが証明されました｡
まず$8=2^3$であることを用いて \[8^n+1=(2^3)^n+1=(2^n)^3+1\] と変形します｡ 次に, $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$の恒等式を$x=2^n$に適用すると
\begin{align*} 8^n+1 &= (2^n)^3+1\\ &= (2^n+1)\left( (2^n)^2-2^n+1 \right) \end{align*} となります｡ このとき, $2^n+1 > 1$であることから$8^n+1$が素数であるためには$(2^n)^2-2^n+1=1$となる必要があります｡
しかし, $n$が自然数であることから$2^n > 1$となり, これより, \[(2^n)^2-2^n+1=2^n(2^n-1) + 1 > 1\] となることがわかります｡ つまり, $8^n+1$は$1$より大きい2つの整数の積となっているので合成数であることが示されました｡ よって$8^n+1$はどんな$n$に対しても素数にはならないことが証明されました｡