$a, b$を互いに素な整数とします。 また, $5a+b \neq 0$であると仮定します｡ このとき，分数$\frac{16a+3b}{5a+b}$が既約分数であることを証明してください。
分数が既約であるには，分母と分子の最大公約数が$1$であることが必要十分です。
テキストで証明した次の最大公約数に関数性質を用います。
$a, b, n$を整数とします｡ すると$\gcd(a, b)=\gcd(a, an+b)$が成り立ちます｡
この性質を繰り返し用いると \begin{align*} \gcd(16a+3b, 5a+b) &= \gcd\left( 3(5a+b)+a, 5a+b \right)\\ &= \gcd(a, 5a+b)\\ &= \gcd(a, b)\\ &= 1 \end{align*} となります。最後の等号は，仮定の$a, b$が互いに素であることから従います。
ゆえに，分母と分子が互いに素であることが証明されました。
分母と分子を$m=5a+b, n=16a+3b$と置きます。これらの式を次のように$a, b$について解きます｡ \[n-3m = (16a+3b) - 3(5a+b) = a\] \[-5n + 16 m = -5(16a+3b) +16(5a+b) =b\]
つまり，$a, b$はそれぞれ$m, n$の線型結合として書けることがわかりました。このことから$m$と$n$の最大公約数は$a$と$b$の両方を割り切らなければならないことがわかります。
仮定より$\gcd(a, b)=1$であるので$m, n$の最大公約数も$1$であることがわかります。 よって， 与えられた分数は既約分数であることが証明されました。