$\log 4$が無理数であることを証明してください｡ ここで, $\log 4 = \log_{10} 4$は底10の対数です｡
$\log 4$が有理数と仮定して矛盾を導きます｡ $\log 4$を有理数とすると自然数$a, b$で$\log 4 = \frac{a}{b}$となるものが存在します｡
対数の性質より \[10^{\frac{a}{b}} = 4\] を得ます｡ 両辺を$b$乗して$10^a = 4^b$を得ます｡ これは \[2^a \cdot 5 ^a = 2^{2b}\] と素因数分解の形に書くことができます｡
$a$が自然数なので, 左辺には素因数$5$がある一方で｡ 右辺には$5$が含まれていません｡ これは素因数分解の一意性に反するので矛盾です｡ ゆえに, $\log 4$が無理数であることが証明できました｡