自然数$n$の階乗とは, $1$から$n$までの全ての自然数の積のことで$n!$と書きます｡ $n$を$2$以上の自然数とします｡ そして, $k$を$1 < k\leq n$を満たす自然数とします｡ このとき, $n!+k$は合成数であることを証明してください｡
自然数$k$は$n$以下であり, $n$の階乗$n!$は$n$以下の全ての自然数の積なので$n!$の積の中に$k$が含まれていることが分かります｡ よって, $k$は$n!$を割り切ります｡ つまり, $\frac{n!}{k}$は自然数となります｡
すると \[n!+k = k\left(\frac{n!}{k}+1 \right)\] と積の形で書けます｡ このとき, $k$も$\frac{n!}{k}+1$も$1$より大きい自然数なので(仮定より, $1 < k\leq n$でした), その積である$n!+k$は合成数であることがわかりました｡