$a$を自然数とします｡ $a$を固定したとき, $\sigma(n)=a$となる自然数$n$は有限個しかないことを証明してください｡
$\sigma(n)$は, 定義より自然数$n$の正の約数の総和でした。どの自然数$n$も必ず$1$と$n$を約数に持ちます。つまり \[\sigma(n) \geq 1+n\] となります。
このことから、$a$以上の自然数$n$に対して \[\sigma(n) \geq 1+n > a\] となります。ゆえに、$\sigma(n)=a$となる可能性がある$n$は$a$以下の自然数のみであり, それらは有限個しか存在しません。