$n$を自然数とします｡ このとき, $n! + 1$の素因数は$n$より大きいことを証明してください｡
$N = n! +1$と置きます｡ そして, $p$を$N$の任意の素因数とします｡ つまり, $p \mid N$です｡ この素因数$p$が$n$よりも大きいことを証明します｡ $p \leq n$と仮定すると矛盾が生じることを示します｡ もし$p\leq n$ならば$p \mid n!$が成立します｡ すると, $p\mid N$かつ$p\mid n!$なので \[p \mid N - n! = (n! + 1 ) - n! = 1\] となり, $p\mid 1$を得ます｡
しかし, $p$が素数なのでこれは矛盾です｡ ゆえに, $p > n$ということが証明されました｡ つまり, $n!+1$の任意の素因数は$n$より大きいことが証明されました｡