ある整数$n$を使って$n^3-1$の形に書ける素数をすべて見つけてください｡ 見つけた素数以外には存在しないことも証明してください｡
答えを最初に書くと, $n^3-1$の形に書ける素数は$7$のみです｡ この事実を証明します｡
ポイントは$n^3-1$が次のように分解されることです｡ \[n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1)\] この式を確かめるには右辺を展開してみてください｡
さて, この$n^3-1$が$n-1$と$n^2+n+1$の積で書けることから$n^3-1$が素数であるためには, これらのどちらか一方が$1$になる必要があります｡ もし$n-1=1$の場合, $n=2$となり$n^2+n+1=7$となることより$n^3-1=7$が素数になります｡
次に$n^2+n+1=1$の場合を考えます｡ この式を変形すると, $n(n+1)=0$となることから$n=0$または$n=-1$となります｡ $n=0$のとき$n^3-1=-1$となり, $n=-1$のときには$n^3-1=-2$となるのでどちらの場合も$n^3-1$は素数になりません｡ ゆえに, $n^3-1$が素数になるのは$n=2$のときの$7$しかないことが証明されました｡