問題
ある整数$n$を使って$3n+1$と書ける素数は必ずある整数$m$を使って$6m+1$の形に書けることを証明してください｡
難易度:
解答
もし整数$n$が偶数であれば$n=2m$となる整数$m$が存在して$3n+1=3(2m)+1=6m+1$となるので$6m+1$の形に書けることがわかります｡ そこで$n$が奇数にはなりえないことを証明すればよいことになります｡
仮に$n$が奇数と仮定します｡ すると$3n$も奇数で$3n+1$は奇数足す奇数で偶数になります｡ 問題の仮定より$3n+1$は素数でした｡ 偶数の素数は$2$のみなので$3n+1=2$となりますが, これより$n=1/3$となり$n$が整数であることに反します｡
つまり$n$が奇数にはなりえないことが分かりました｡ ゆえに, $n$は偶数であることがわかり, 上の議論から$3n+1$型の素数は$6m+1$の形に書けることが証明されました｡