問題
$4$で割って余りが$3$の2つの整数の積を$4$で割ると余りが$1$になることを証明してください｡
難易度:
解答
$m$と$n$を$4$で割って$3$余る整数とします｡ すると, 整数$a, b$で
\[m=4a+3, \quad n=4b+3\]
となるものが存在します｡ 目標は$m$と$n$の積$mn$を$4$で割ったときの余りが$1$になることを証明することです｡ そこで積$mn$を計算していきましょう｡
\begin{align*}
mn &= (4a+3) (4b+3)\\
&= 16ab + 12a + 12b + 9\\
&=16ab + 12a + 12b + 8 + 1\\
&= 4(4ab + 3a + 3b + 2) + 1
\end{align*}
となります｡ ここで, $c=4ab+3a+3b+2$と置くと, $a, b$が整数であるから$c$も整数であることが分かります｡ つまり, $mn = 4c +1$, $c$は整数と書けることが分かり, これより積$mn$を$4$で割ると余りが$1$であることが示されました｡ これで証明を終わりにしたいと思います｡